Definīcijas sk. Kas ir polimondi.
Apgalvojums: Lai eksistētu perfekts platleņķu $n$-polimonds, ir nepieciešami, lai $n \geq 12$ un $n \equiv 0 \pmod{6}$.
Pie $n=12$ un $n=18$ eksistē tikai pa vienam perfektam platleņķa polimondam, (sk. piemērus lapas apakšā), bet pie $n \geq 24$ šādu polimondu skaits strauji pieaug. Tabulā doti lejupielādējami faili ar šiem polimondiem - tie pierakstīti kā malu vektoru virzieni, sākot ar visgarāko polimonda malu līdz visīsākajai. Polimondi skaitīti, uzskatot figūras, kas atšķiras tikai ar rotāciju vai ass simetriju par vienādām. (Platleņķu polimondiem tas nozīmē, ka pirmie divi virzienu burti vienmēr ir “AB” - uz austrumiem un tad uz ziemeļaustrumiem.)
| n | Fails | Skaits |
|---|---|---|
| 12 | obtuse_12.txt | 1 |
| 18 | obtuse_18.txt | 1 |
| 24 | obtuse_24.txt | 21 |
| 30 | obtuse_30.txt | 432 |
| 36 | obtuse_36.txt | 13684 |
| 42 | obtuse_42.txt | 284674 |
| 48 | obtuse_48.txt | 7559582 |
Nepierādīts apgalvojums: Katram naturālam skaitlim $n \geq 12$, kuram $n \equiv 0 \pmod{6}$, eksistē perfekts platleņķu $n$-polimonds. (T.i. dalāmība ar $6$ polimonda eksistencei ir ne tikai nepieciešamais, bet arī pietiekamais nosacījums.)
Apgalvojums: Ja $n \equiv 0 \pmod{12}$, tad katra perfekta platleņķu polimonda laukums $A$ ir pāra skaitlis, bet ja $n \equiv 6 \pmod{12}$, tad katra perfekta platleņķu $n$-polimonda laukums ir nepāra skaitlis.
Piezīme: Polimondu laukumus šeit un turpmāk izteiksim “trijstūrīšu vienībās” – uzskatām, ka vienādmalu trijstūrim ar malu $1$ laukums ir $1$ vienība. Parastajā Eiklīda telpā $L_2$ laukumu $S$ (vienības kvadrātiņu vienībās) var iegūt no $A$, pareizinot ar trijstūrīša Eiklīda laukumu: $S = A \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$.
Hipotēze (par platleņķu polimondu maksimālo laukumu): Ar $A_n$ ($n=12,18,24,30,\ldots$) apzīmēsim lielāko iespējamo perfekta platleņķu polimonda laukumu (mazajam trijstūrītim laukums ir $1$). Ir spēkā šāds apgalvojums:
\[\limsup_{n\to\infty} \frac{A_n}{(n^2(n+1)^2)/32} = 1.\]T.i. bezgalīgi bieži vislielākais perfektais platleņķa $n$-polimonds ir ar laukumu, kas asimptotiski tuvojas regulāra “izrobota sešstūra laukumam”, kurš novietots vertikāli:
Piezīme: Lai uzkonstruētu augošu naturālu skaitļu apakšvirkni $n_1,n_2,\ldots$, kuras locekļi asimptotiski tuvojas sešstūrim, būs vajadzīga nepieciešama induktīva (vai kāda cita) konstrukcija, kura izveido aptuveni vienāda garuma zigzagveida lauztas līnijas, kuras sastāda sešstūri. (Lai figūra būtu noslēgta, var gadīties pievienot vēl arī nedaudzas īsas savienotājmalas pašās beigās.) Ja šāda konstrukcija ir iespējama visiem $n$, kas dalās ar $6$, tad augšējās robežas vietā varēs pamatot parastu robežu.
Kāpēc vajadzētu ticēt šai hipotēzei? Līdz šim iegūtie maksimālie perfekto platleņķa polimondu laukumi (pie $n = 12, \ldots, 48$) tuvojas asimptotiskajam novērtējumam. Šie piemēri ir ar maksimālo laukumu un atrasti, izmantojot pilno pārlasi.
| n | Malas | Laukums | Asimptotika | Attiecība |
|---|---|---|---|---|
| 12 | ABCDEDEFAFAB | 820 | 760.5 | 1.078238 |
| 18 | ABAFEDEDEDCBCBCBAB | 2997 | 3655.125 | 0.819945 |
| 24 | ABAFEFEDEDCDCBCDCBABABAB | 10178 | 11250.0 | 0.904711 |
| 30 | ABAFAFEFEDEDCDCDCDCBCBCBCBAFAF | 25617 | 27028.125 | 0.94779 |
| 36 | ABABCBCDCDCDEDEFEFEFEFEFAFAFAFABABCB | 54692 | 55444.5 | 0.986428 |
| 42 | ABABCBCBCDCDEDEDEDEFEFEFEFAFAFAFAFAFABABCB | 101621 | 101926.125 | 0.997006 |
| 48 | ABABCBCDCDCDCDEDEDEFEFEFEFAFAFAFAFAFABABABAFABCB | 170018 | 172872.0 | 0.983491 |
Tabulas kolonnu paskaidrojumi:
Literatūra: